Hay 6 pasos principales para calcular la circunferencia (y el radio) de la Tierra. Presiona sobre el vínculo en cada uno de los pasos para obtener información completa. Nuestra hoja de trabajo puede serte de utilidad para anotar lo que haces en cada paso.

Paso 1) Mide el largo de la sombra proyectada por el vástago al mediodía solar en tu lugar.  Para MTM, esto será hecho por tu Asociación en tres lugares distintos Chile, Estados Unidos de América y México. Reporta este resultado en línea

Paso 2) Determina el ángulo de la sombra en cada lugar, llamado el "ángulo vástago-rayos de sol"..

Paso 3) Determina el "ángulo vertical" combinando (ya sea sumando o restando, dependiendo de las latitudes) Los "ángulos vástago-rayos de sol" en paresde ubicaciones de tu Asociación MTM.

Paso 4) Determina la distancia de separación entre los lugares proyectada sobre el círculo cenital. Esto se puede hacer en línea usando el calculador de distancias.

Paso 5) Calcula la circunferencia (y el radio) de la Tierra usando el ángulo vertical (paso 3)) y la distancia de separación (paso 4)) para cada par de lugares

Paso 6) Calcula el valor promedio de la circunferencia (y el radio) de la Tierra para cada par de lugares para obtener un valor final de la circunferencia y y el radio de la Tierra. ¡Reporta esto en línea!

 

Paso 1: Mide la Longitud de la Sombra

Sigue los pasos descritos en la sección de Mediciones de este sitio o de la Guía de Actividades que puedes descargar. Notas importantes:

Paso 2: Determina el Ángulo Vastago-Rayos de Sol

Hay dos maneras de hacerlo: usar papel milimetrado y un transportador (instrumento para medir ángulos), o usando trigonometría básica.

Las dos figuras de abajo muestran la geometría del vástago, los rayos solares y la sombra en dos lugares diferentes. En las descripciones siguientes nos referiremos a ellas.

Gnomon figure 1

Figura 1

  

Gnomon figure 2

Figura 2

Usando papel milimetrado y transportador

Vas a hacer "un modelo a escala" del vástago y su sombra en un pedazo de papel milimetrado, y usarás el transportador para medir el ángulo. Necesitarás los materiales siguientes:

Vas a usar las mediciones de la longitud del vástago y del largo de la sombra (más corta ) proyectada por el vástago.

  1. Dibuja una recta vertical para representar el vástago. Elige una escala adecuada para tu papel milimetrado. Debes usar la misma escala para representar el vástago y su sombra. Por ejemplo, si tu vástago es de un metro (100 cm) y la recta que dibujaste en le papel milimetrado para representarlo tiene 20 cm, tu escala es 1/5.
  2. Dibuja una recta horizontal (perpendicular a la línea que representa el vástago, es decir, que forme un ángulo de 90° con la línea que ya dibujaste) a partir de la base de la línea del vástago. Esta línea representará la sombra. Usa la misma escala que usaste para la representación del vástago. Por ejemplo, si usas la escala del paso 1 de arriba, si la sombra midió 45 cm, la recta horizontal que la represente debe medir 9 cm (1/5 de 45 cm).
  3. Une los extremos de la recta del vástago con la recta de la sombra usando una tercera línea recta. Debería tener ahora un triángulo (de hecho, ¡un triángulo rectángulo!)
  4. Mira las figuras 1 y 2 de arriba. Ponle nombres a los vértices del triángulo con las letras A, B, y C de la misma manera en que está hecho en las figuras 1 y 2.
  5. Usa el transportador para medir el ángulo ACB.

Usando trigonometría básica

Mira las figuras 1 y 2 de arriba. El propósito es encontrar el valor del ángulo ACB. Conocemos el largo del vástago(el trazo AC) y el largo de la sombra (el trazo AB). También sabemos que el vástago es vertical y la sombra es horizontal, así que el ángulo BAC es un ángulo recto (90°).

Usaremos la letra griega "fi" (φ) para representar el valor del ángulo ACB.

La definición de tangente de un ángulo en trigonometría, aplicada a nuestro caso, es:

tg φ = AB / AC = (Longitud de la Sombra) ÷ (Longitud del vástago)

Para el ángulo ACB (o φ), se obtiene:

φ = arctg (AB / AC) = arctg [(Longitud de la Sombra) ÷ (Longitud del vástago)]

Ejemplo: Si el vástago tiene una longitud de 1 metro (100 cm) y la sombra tiene una longitud de 20 cm, obtenemos:

tg φ = 20 cm / 100 cm = 0.2

φ = arctg (20 cm / 100 cm) = arctg (0.2) = 11.3 grados

Paso 3: Determina los "Ángulos Verticales" Combinando Pares de Ángulos Vástago-Rayos de Sol

Para determinar el tamaño de la Tierra, se necesitan mediciones de ángulos en dos lugares distintosdel planeta que tengan latitudes diferentes. Cuando se tienen las mediciones de ángulos en liugares diferentes podemos combinar esos ángulos para formar el "ángulo vertical" que necesitamos parta cálculos posteriores. Para combinar los ángulos, los debemos sumar o restar, dependiendo si los lugares donde se hicieron las mediciones están en diferentes (sumar) o en el mismo (restar) hemisferio. (Si necesitas las mediciones de sombras de los lugares de tus Asociados, por favor, comunícate en línea con ellos o usa nuestra herramienta para consulta de datos.)

En el caso del proyecto Mide tu Mundo, la mayoría de los lugares estarán en Chile, México, y los Estados Unidos de América (U.S.A.)

Lugares y Mediciones de Ángulos Cómo se calcula el "Ángulo Vertical "
Chile y México
φ Chile + φ Mexico
Chile y U.S.A.
φ Chile + φ USA
México y U.S.A
φ USA - φ Mexico

Ejemplo:

Lugar φ (ángulo ACB)
Chile
37°
México
23°
U.S.A.
42°
 
Location Pair
Vertical Angle
Chile y México
60° = 37° + 23°
Chile y U.S.A.
79° = 37° + 42 °
México y U.S.A
19° = 42 ° - 23°

Paso 4: Determina la Distancia de Separación entre Lugares de Mediciones Proyectados sobre el Círculo Cenital

Cuando Eratóstenes usó su método para medir el tamaño de la Tierra tuvo algunas ventajas que le permitieron hacer esa determinación de una manera relativamente sencilla. Una de los puntos que usó, laciudad egipcia de Asuán, está en el Trópico de Cáncer ..... así, en el solsticio de verano los rayos del Sol caen verticalmente sobre esta ciudad de modo que la longitud de la sombra de cualquier vástago vertical es cero (al mediodía solar.) Las dos ubicaciones que usó, Alejandría y Asuán tienen aproximadamente la misma longitud .... Asuán está casi directamente al Sur de Alejandría. Por último, dos lugares que tienen la misma longitud tienen, en el solsticio, el mediodía solar al mismo tiempo....simplificando los cálculos.

En tu caso, los cálculos no son tan simples. Para ayudarte en tu determinación hemos construido el calculador de distancias de arriba que determinará la distancia "correcta" entre los dos lugares en los que estás haciendo las mediciones de los ángulos de los rayos del sol con los vástagos en cada lugar. Deberás escribir en el calculador las longitudes and latitudes de los dos lugares que estás comparando, y las horas y las fechas en quese hicieron las mediciones de los ángulos de los rayos del sol. El calcudator determinará la distancia "correcta" entre los dos lugares.

Usa este vínculo para ir al calculador de distancias. Escribe la latitud y la longitud de cada para de lugares, y la hora y la fecha en que se hicieron las mediciones. Si necesitas los datos (lat/lon, horas y fechas) de las mediciones de tus Asociados, por favor, comunícate con ellos en línea o usa nuestra herramienta de consulta de datos. Necesitarás usar el tiempo universal (tambien conocido como GMT, Greenwich Meridian Time, en inglés, Tiempo del Meridiano de Greenwich , en español ). Es preciso ser cuidadoso respecto de los cambios de horario de invierno a horario de verano y viceversa. Los vínculos siguientes te pueden ayudar a transformar la hora local a GMT:

http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/SEhelp/TimeZone.html#UTC
http://wwp.greenwichmeantime.com/info/time.htm

Presiona el botón de calcular. Nuestro calculadorte dará la distancia "correcta" entre los dos lugares; escribe y conserva este número ya que lo necesitarás en el Paso 5 demás abajo. record this number. Debes hacer esto para cada par de lugares en que tu Asociación esté haciendo medidas.

Si quieres saber más acerca de las razones por las que tus cálculos son más complejos que los que tuvo que hacer Eratóstenes, mira los videos que puedes encontrar en los vínculos de abajo

 

Paso 5: Calcula el Tamaño de la Tierra para cada Par de Lugares

Ahora tienes toda la información necesaria para calcular la circunferencia y el radio de la Tierra basados en los ángulos de las sombras que observaron en dos lugares distintos y la distancia de separación entre esos dos lugares que obtuviste usando nuestro calculador. El ángulo vertical que enconcontraste en el paso 3 es el mismo ángulo, medido desde el centro de la Tierra, entre los dos lugares del globo (proyectados en el círculo cenital.) Ahora sólo es necesario plantear una sencilla proporción usando el ángulo vertical y la distancia entre los dos lugares y el número de grados en una circunferencia (que es conocido, e igual a 360°) para calcular la circunferencia de la Tierra. Definamos las siguientes variables:

D y θ son conocidos; hay que encontrar C.

C / D = 360° / θ

De modo que ,

C = D x 360° / θ

Ejemplo: Supongamos que el ángulo vertical angle, θ, fue 60°; y que la distancia, D, fue 6,500 km. La proporción es :

C / 6,500 km = 360° / 60°

... y el valor de la circunferencia de la Tierra sería:

C = D x 360° / θ = (6,500 km) x 360° / 60° = 39,000 km

Puedes calcular el radio de la Tierra, recordando que la circunferencia es igual a 2π veces su radio:

Radio = C / 2π

Para el ejemplo de arriba, el radio sería:

Radio = C / 2π = (39,000 km) / 2π = 6,207 km

Paso 6: Calcula el Promedio de los Cálculos del Tamaño de la Tierra usando 3 Lugares para obtener el Valor Final del Tamaño de la Tierra

Debes llevar a cabo los cálculos del paso 5 tres veces; una vez para cada par de lugares (Chile y México; Chile y USA; y México y USA). Como es muy poco probable que todas las mediciones hayan sido perfectas, los cálculos darán tres valores distintos para la circunferencia de la Tierra. Para obtener sólo un valor de la circunferencia de la Tierra para tu Asociación, calcula el promedio de los tres valores.

= [CChile-Mexico + CChile-USA + CMexico-USA] ÷ 3

¡Repórtanos tu valor final de la circunferencia y del radio de la Tierra!

Ejemplo: Supongamos que tenía los siguientes tres valores para la circunferencia de la Tierra:

Cpromedio = [39,700 km + 40,200 km + 38,900 km] ÷ 3 = 118,800 km ÷ 3 = 39,600 km

Haz lo mismo para el radio de la Tierra (o calcúlalo usando el valor promedio ya obtenido de la circunferencia de la Tierra)

Hoja de Cálculos

 
Chile
México
U.S.A.
Fecha de la Medición      
Tiempo de la Medición (hora local)      
Tiempo de la Medición (GMT)      
Latitud      
Longitud      
Longitud del vástago      
Longitud de la sombra      
Ángulo vástago-rayos del sol      

 

 
Chile-México
Chile-U.S.A.
México-U.S.A.
Ángulo Vertical      
Distancia de Separación
proyectada en el Círculo Cenital) 		     
Circunferencia de la Tierra      
Radio de la Tierra